diff options
27 files changed, 414 insertions, 102 deletions
diff --git a/.obsidian/config b/.obsidian/config new file mode 100644 index 0000000..dfed905 --- /dev/null +++ b/.obsidian/config @@ -0,0 +1 @@ +{"pluginEnabledStatus":{"file-explorer":true,"global-search":true,"switcher":true,"graph":true,"backlink":true,"command-palette":true,"markdown-importer":false,"word-count":false,"open-with-default-app":false,"file-recovery":true,"tag-pane":true,"page-preview":true,"templates":true,"random-note":false,"outline":true,"slides":true},"strictLineBreaks":true,"useTab":false,"tabSize":2,"autoConvertHtml":true,"vimMode":true,"promptDelete":false,"theme":"obsidian","smartIndentList":false,"foldIndent":false,"foldHeading":true,"defaultViewMode":"preview","enabledPlugins":["better-word-count","obsidian-checklist-plugin","note-refactor-obsidian","obsidian-vimrc-support","obsidian-plugin-toc","calendar"],"showUnsupportedFiles":true,"useMarkdownLinks":false,"alwaysUpdateLinks":true,"translucency":false,"cssTheme":"Blue Topaz"}
\ No newline at end of file diff --git a/.obsidian/graph.json b/.obsidian/graph.json new file mode 100644 index 0000000..f94665c --- /dev/null +++ b/.obsidian/graph.json @@ -0,0 +1 @@ +{"collapse-filter":true,"search":"","showTags":false,"showAttachments":false,"hideUnresolved":false,"showOrphans":true,"collapse-color-groups":true,"colorGroups":[],"collapse-display":true,"showArrow":false,"textFadeMultiplier":0,"nodeSizeMultiplier":1.20982905982906,"lineSizeMultiplier":2.29871794871795,"collapse-forces":false,"centerStrength":0.743589743589744,"repelStrength":14.8717948717949,"linkStrength":1,"linkDistance":155,"scale":0.23867717269606342,"close":true}
\ No newline at end of file diff --git a/Coulomb.md b/Coulomb.md deleted file mode 100644 index 57485fb..0000000 --- a/Coulomb.md +++ /dev/null @@ -1 +0,0 @@ -# Coulombs lag
\ No newline at end of file diff --git a/Maxwell.md b/Maxwell.md deleted file mode 100644 index c7f00f5..0000000 --- a/Maxwell.md +++ /dev/null @@ -1 +0,0 @@ -# Maxwells ekvationer
\ No newline at end of file diff --git a/TFYA86.md b/TFYA86.md deleted file mode 100644 index 7324ac5..0000000 --- a/TFYA86.md +++ /dev/null @@ -1,45 +0,0 @@ -# Kursinformation - -Mycket på Lisam. - -"University Physics with Modern Physics" av Young & Freeman, 15th ed. -rekommenderas. Även "Physics Handbook". - -Formelblad med handskrivna anteckningar ok på eventuell tenta. - -Föreläsningspresentationer som pdf på Lisam. Inspelade videor från förra året -finns tillgängliga. - -## Föreläsningar - -1. Introduktion. [[Elektromagnetism]] -2. [[Elektriska fält]] -3. - -## Lektioner - -Olika typer beroende på egen smak. Grupp A har genomgång, några uppgifter -gemensamt och lite räkna själv. Grupp B har bara räkna själv. - -## Labbar - -Elektromagnetiska simuleringar. Numerisk simulering. Distans 4h i par. - -Ljusvågor. Experimentell. Kolla på videor och gör en labbrapport utifrån dem. -Individuellt. - -## Duggor / Quiz - -I samband med varje lektion. Behandlar det material som gåtts igenom. 4 frågor, -blandat flervalsfrågor och enklare beräkningar. 3 rätt på en dugga -> 0.5p till -tentan. Ger bonuspoäng upp till godkänt ett år framåt. 8 duggor totalt så 4 p. - -## Tenta - -Tre delar motsvarande delarna i kursen. Del A 18p, del B 6p, del C 6p. - -Godkänt kräver 2p på varje del. - -Preliminärt 3: 12p, 4: 18p och 5: 24p. - -3/6 14-19. diff --git a/TSEA82.md b/TSEA82.md deleted file mode 100644 index 5737dfe..0000000 --- a/TSEA82.md +++ /dev/null @@ -1,46 +0,0 @@ -# Kursinformation - -## Informationskanaler - -- Zoom: föreläsningar -- Teams: labbhandledning -- Lisam: anmälan och inlämning -- Mail + Teams: kommunikation -- Kurshemsidan: kursmaterial - -## Föreläsingar - -1. Introduktion - 1. [[Datormodellen]] - 2. [[Programmerarmodellen]] - 3. [[Assemblyinstruktioner|Instruktioner]] -2. [[Assemblyinstruktioner|Instruktioner]] -3. [[Binär aritmetik]] -4. [[Strukturerad programmering]] -5. [[Programflöde och I/O]] -6. [[Stacken]] -7. [[Avbrott]] -8. [[Pre-processor]] -9. [[A/D-omvandling]] - -## Examination - -Labbserie under terminen, ungefär en labb i veckan. Inga redovisningar utan -labbtillfällena är resurstillfällen. Redovisning sker via inlämning av film och -kod. Samarbete OK men individuell inlämning. - -Labbexamination i slutet. Uppgift där återanvändning av labbkod är tillåten och -förutsätts. 90 minuter. - -# Kursintroduktion - -Datateknik är ett väldigt brett ämne. I den här kursen begränsar vi till -processorer, närmare bestämt assemblerprogrammering. - -Vi programmerar ett ATmega328-chip med [[AVR]] på en Arduino Uno. - -Digitaltekniken är användbar. Inga kombinatoriska nät eller så. - -Kommer använda Atmel Studio för att programmera och simulera. Verkar inte finnas -bra alternativ på linux. - diff --git a/Assemblyinstruktioner.md b/datorteknik/Assemblyinstruktioner.md index ca70684..0a9d92b 100644 --- a/Assemblyinstruktioner.md +++ b/datorteknik/Assemblyinstruktioner.md @@ -40,9 +40,9 @@ control flow. Finns en hög olika BRXX. ## I/O - instruktioner Portar är 8 bitar breda. Enskilda bitar kan fungera som antingen ingång eller -utgång. Styrs via [[Datariktningsregister|datariktningsregistret]] DDRx. -Utvärdet bestäms av portregistret PORTx och invärdet läsen från PINx. x = B, C -eller D beroende på vilken typ av port (se chippet). +utgång. Styrs via [[Datariktningsregister]] DDRx. Utvärdet bestäms av +portregistret PORTx och invärdet läsen från PINx. x = B, C eller D beroende på +vilken typ av port (se chippet). OUT skriver till samtliga 8 bitar. SBI (Set Bit in I/O Register) och CBI (Clear Bit in I/O Register) hanterar specifika bitar. Kan också använda e.g. SBRC diff --git a/datorteknik/Binär aritmetik.md b/datorteknik/Binär aritmetik.md new file mode 100644 index 0000000..df27814 --- /dev/null +++ b/datorteknik/Binär aritmetik.md @@ -0,0 +1,21 @@ +[[Aritmetik]] med [[Binära tal]]. + +Inom datortekniken används mest talbas 2, (8), 10 och 16. + +Vilken talbas som gäller anges med subskript. E.g. $101_2 = 5_{10}$. + +Utförs av en [[ALU]]. + +# Addition och [[Ordlängd]] + +Fungerar som vanligt. Ställ upp, räkna ettor och ta med en carry till nästa. + +Ordlängden bestämmer vad som händer med sista positionen. Om sista (första?) +ettan inte ryms i ordlängden sätts C-flaggan istället. + +T.ex., med ordlängd 5: $01011_2 + 10111_2 = 00010_2, \ C = 1$ men med ordlängd +8: $00001011_2 + 00010111_2 = 00100010_2, \ C = 0$. + +# Carry (C) + +# Overflow (V) diff --git a/datorteknik/Binära tal.md b/datorteknik/Binära tal.md new file mode 100644 index 0000000..1c3a4a6 --- /dev/null +++ b/datorteknik/Binära tal.md @@ -0,0 +1,41 @@ +[[Talbas]] 2. + +# Omvandling + +## Från decimalt tal + +Kan subtahera bort 2-potenser: + +$$98_{10} = 64 + 34 = 64 + 32 + 2 = 1100010_2$$ + +Kan också dividera med två kontinuerligt. Resten vid divisionen baklänges blir +talet i bas 2. Avrunda nedåt. + +$$98 / 2 = 49.0 \rightarrow 0$$ +$$49 / 2 = 24.5 \rightarrow 1$$ +$$24 / 2 = 12.0 \rightarrow 0$$ +$$12 / 2 = 6.0 \rightarrow 0$$ +$$6 / 2 = 3.0 \rightarrow 0$$ +$$3 / 2 = 1.5 \rightarrow 1$$ +$$1 / 2 = 0.5 \rightarrow 1$$ +$$\Rightarrow 98_{10} = 1100010_2$$ + +## Från hexadecimala tal + +Superlätt binärt <-> hexadecimalt. Binärt -> hexadecimalt: lägg till nollor till +vänster tills längden är mod 4 och översätt grupper om fyra till sitt +hexadecimala tecken. Hexadecimalt -> binärt: översätt varje tecken till de fyra +binära siffrorna rakt av. + +# Två-komplement + +Tyngden i den första siffran är negativ. Exempel: tolka $1011_2$ som ett +två-komplementstal. + +$$1011_2 = -8 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = -8 + 3 = -5_{10}$$ + +## Byta tecken + +$$-X = \overline{X} + 1$$ + +$$-3_{10} = -0011_2 = \overline{0011} + 1 = 1100 + 1 = 1101_2$$ diff --git a/datorteknik/Fixtal.md b/datorteknik/Fixtal.md new file mode 100644 index 0000000..59cbcdc --- /dev/null +++ b/datorteknik/Fixtal.md @@ -0,0 +1,8 @@ +Tal med decimaler. Se också [[Flyttal]]. + +I grunden som vanliga [[Binära tal]] men ett decimaltecken sätts ut någonstans i +den binära representationen. + +$$10111011_2 = 1011.1011 = 2^3 + 2^1 + 2^0 + 2^{-1} + 2^{-3} + 2^{-4} = 11.6875$$ + +Enbart en tolkning som gör det till ett fixtal. diff --git a/datorteknik/Flyttal.md b/datorteknik/Flyttal.md new file mode 100644 index 0000000..1ae8f74 --- /dev/null +++ b/datorteknik/Flyttal.md @@ -0,0 +1,26 @@ +Decimaltal. Jämför [[Fixtal]]. + +Har ett tecken, en mantissa och en exponent. Mantissan är implicit $+1$. + +Talet tolkas som $\mathrm{tecken} \cdot \mathrm{mantissa} \cdot 2^{\mathrm{exponent}}$. + +För ett 32-bitars flyttal gäller + +- 1 bit för tecknet ($1 \rightarrow -1$) +- 8 bitar för exponenten +- 23 bitar för mantissan + +Exempel: + +$$0\_01111100\_0100...$ = 1 \cdot 2^{124-127} \cdot (1 + 2^{-2}) = 1.25 +\cdot 2^{-3} = 0.15625$$ + +# Problem + +Vissa decimaltal går inte att beskriva exakt på den här formen. Om det behövs +krävs [[Decimal floating point]]. + +```python +>>> 0.1+0.2 +0.30000000000000004 +``` diff --git a/fysik/Ekvipotentialytor.md b/fysik/Ekvipotentialytor.md new file mode 100644 index 0000000..c3c6398 --- /dev/null +++ b/fysik/Ekvipotentialytor.md @@ -0,0 +1,5 @@ +Höjdlinjer för [[Elektrisk potential]]. + +Inget arbete att röra sig längs med. + +Vinkelräta mot det [[Elektriska fält]]et. diff --git a/fysik/Elektrisk potential.md b/fysik/Elektrisk potential.md new file mode 100644 index 0000000..207850f --- /dev/null +++ b/fysik/Elektrisk potential.md @@ -0,0 +1,20 @@ +En typ av [[Potential]]. + +Exempel då en partikel flyttas från ett avstånd $a$ från en punktladdning till +ett avstånd $b$ från samma punktladdning: + +$$W_{a \rightarrow b} = \int_a^b \bar{F} d\bar{l} = \int_{r_a}^{r_b} F_r dr = +\int_{r_a}^{r_b} \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{qq_0}{r^2} dr = +\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \left[ - \frac{1}{r} \right] _ {r_a}^{r_b} = U_a - U_b$$ + +$$U_b = 0, r_b \rightarrow \infty \Rightarrow U_a = \frac{qq_0}{4\pi \epsilon_0} \frac{1}{r_a}$$ + +Elektrisk potential mäts i Volt $[V] = [J/C]$. + +Den elektriska potentialen minskar i det [[Elektriska fält]]ets riktning. + +$V \sim \frac{1}{r}$ och $E \sim \frac{1}{r^2}$. + +$V$ skalärt, $E$ vektor. + +$V$ enklare (oftast). diff --git a/Elektriska fält.md b/fysik/Elektriska fält.md index 9e840db..e3f97e4 100644 --- a/Elektriska fält.md +++ b/fysik/Elektriska fält.md @@ -1,6 +1,6 @@ Om vi mäter den elektrostatiska kraften på en positiv testladdning i varje punkt kommer kraftvektorerna visa fältets riktning. F = QE. För att beräkna E används -[[Coulomb#Coulombs lag]] och en liten testladdning q0. +[[Coulombs lag]] och en liten testladdning q0. Blir vektoraddition. diff --git a/Elektriskt flöde.md b/fysik/Elektriskt flöde.md index f1b95ba..f1b95ba 100644 --- a/Elektriskt flöde.md +++ b/fysik/Elektriskt flöde.md diff --git a/Elektromagnetism.md b/fysik/Elektromagnetism.md index 2b1bf80..869a33a 100644 --- a/Elektromagnetism.md +++ b/fysik/Elektromagnetism.md @@ -36,7 +36,6 @@ Historia - 17xx: Två typer av laddningar. Kraften är proportionell mot laddningens storlek. - [[Coulomb]] (1736-1806): Sammanfattar den elektriska kraftens beroende av - laddningar och avstånd. - [[Franklin]] (1752): Laddar en kondensator med en drake, en nyckel och ett åskväder. - [[Örstedt]] (1775-1851): Visar att strömförande ledare orienterar en magnetnål. @@ -54,7 +53,7 @@ Historia - B: Magnetisk flödestäthet ([[Magnetiskt flöde]]) - H: Magnetiserande fältstyrka ([[Magnetiska fält]]) -Beskrivs av [[Maxwell#Maxwells ekvationer]]. En "vacker teori". +Beskrivs av [[Maxwells ekvationer]]. En "vacker teori". Behöver ha förståelse för grunderna för att kunna använda i verkligheten effektivt. @@ -65,7 +64,6 @@ Slutna integraler. Cylindriska koordinater. Sfäriska koordinater. Elektrisk laddning -Bärnstensgrejen igen. Går att använda ex. plast och päls eller glas och silke för att visa att laddning kan flyttas mellan objekt och att olika laddningar attraherar. @@ -82,7 +80,7 @@ Ledare leder ström. Inte isolatorer. inte vara ledare för att ha en laddning. Exempel: uppladdad färg kan sprayas på en bildörr. Om bildörren jordas fastnar färgen eftersom den attraheras. -[[Coulomb#Coulombs lag]]. Kraften rörs längs med sammanbindningslinjen. Samma +[[Coulombs lag]]. Kraften rörs längs med sammanbindningslinjen. Samma tecken ger repulsion, olika attraktion. Den [[Elektrostatiska kraften]] är superstark, det är bara det att @@ -94,4 +92,3 @@ Slutsats: gravitation spelar ingen roll på atomnivå. (Mikroskalor.) Punktladdningar kan smetas ut genom att ha flera laddade punkter. Summera laddningarna. Olika [[Laddningsfördelning]]ar på olika former. Behöver som regel -integrera. Räkne-exempel. diff --git a/fysik/Gauss lag.md b/fysik/Gauss lag.md new file mode 100644 index 0000000..24bff8e --- /dev/null +++ b/fysik/Gauss lag.md @@ -0,0 +1,23 @@ +Vi vill räkna ut [[Elektriskt flöde]] genom en ojämn yta $A$. Dela upp ytan i små +plan $dA$. Fältet genom den plana ytan är då konstant. Då gäller + +$$ +\phi = \int E \cos \theta dA = \int E_\bot dA = \int \bar{E} d\bar{A} +$$ + +där $d\bar{A}$ är vinkelrät mot $dA$. + +För slutna ytor är $d\bar{A}$ riktad utåt. + +Generellt fås Gauss lag: + +$$ +\oint \bar{E} d\bar{A} = \frac{Q_\mathrm{encl}}{\epsilon_0} +$$ + +# Användning + +Används ofta för att bestämma fältet från en känd [[Laddningsfördelning]]. +Fungerar bra när fördelningen har enkel symmetri. Försök hitta en yta där fältet +är konstant alternativt 0. $E$ parallellt med ytan => 0. Konstant styrka och +alltid vinkelrätt mot ytan ger $||E|| \cdot A$. diff --git a/fysik/Potential.md b/fysik/Potential.md new file mode 100644 index 0000000..793e81e --- /dev/null +++ b/fysik/Potential.md @@ -0,0 +1,9 @@ +T.ex. [[Gravitation]] och [[Elektrisk potential]]. + +Ungefär som en mängd arbete som i framtiden kan komma att omvandlas till arbete. +Intuitivt exempel: en boll som som är högt uppe har högre potential än en boll +som är närmare marken. Arbetet som krävs alt. fås ut när ett objekt går från en +potential till en annan är samma oavsett vägen som togs. + +Kom ihåg att energin bevaras. Om potentialen sjunker betyder det att energi +omvandlats till något annat genom arbetet (t.ex. rörelseenergi). diff --git a/sannolikhet/2D random variable.md b/sannolikhet/2D random variable.md new file mode 100644 index 0000000..10c2a39 --- /dev/null +++ b/sannolikhet/2D random variable.md @@ -0,0 +1,56 @@ +A [[Random variable]] with 2 "parts". + +Works the same for variables with even higher dimension. + +# [[Discrete]] 2D random variable + +## Joint probability mass function (pmf) + +$$p(x,y) = P(X=x \cap Y=y) \quad \left( = P(X=x, Y=y) \right)$$ + +## Joint table + +Much like the normal joint table but an actual table instead of a single line. + +We can get the respective 1D tables by adding rows or columns (depending on +which variable) together. + +$$p_X(x) \ \mathrm{of} \ X := p_X(x) = p(x,y_1) + ... + p(x, y_n)$$ + +## Marginal pdf + +# [[Continuous]] 2D random variable + +## Joint probability distribution function (pdf) + +1D is integrated over the number line, so 2D is integrated over $D$. + +$$? = \iint_D f(x,y) dxdy = P((X, Y) \in D)$$ + +where $D$ is any [[Borel set]] on $\mathbb{R}^2$. + +We don't usually draw this graph since it is in 3D (unpleasant). + +Instead, we draw the non-trivial domain (all non-zero values). + +$$p(x,y) \ge 0, \ \int_{-\infty}^\infty \left( \int_{-\infty}^\infty f(x,y) dx \right) dy = 1$$ + +## Marginal pdf + +$$f_X(x) \ \mathrm{of} \ X := \int_{-\infty}^\infty f(x,y)dy$$ + +Similar for $f_Y(y)$. + +Bounds might be weird. + +# Independance + +$X$ and $Y$ are independent if + +$$p(x,y) = p_X(x) \cdot p_Y(y) \qquad \mathrm{(discrete)}$$ +$$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) \qquad \mathrm{(continuous)}$$ + +Much the same as independence for [[Event]]s. + +Check by multiplying marginal pmf/pdf or if something "looks" dependant. Check +the intuition. diff --git a/sannolikhet/Bayes' theorem.md b/sannolikhet/Bayes' theorem.md new file mode 100644 index 0000000..633c26f --- /dev/null +++ b/sannolikhet/Bayes' theorem.md @@ -0,0 +1,3 @@ +$$P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$$ + +Proof: expand the [[Conditional probability]]. diff --git a/sannolikhet/Essential formula of probability.md b/sannolikhet/Essential formula of probability.md new file mode 100644 index 0000000..25414fc --- /dev/null +++ b/sannolikhet/Essential formula of probability.md @@ -0,0 +1,9 @@ +Also known as the "happy face formula", since we are happy whenever we get to +use it. + +If all outcomes are equally likely, then + +$$P(A) = \frac{\mathrm{N}(A)}{\mathrm{N}(S)}$$ + +We can sometimes count using this directly, but usually we need counting +techniques. diff --git a/sannolikhet/Event.md b/sannolikhet/Event.md new file mode 100644 index 0000000..1d630f0 --- /dev/null +++ b/sannolikhet/Event.md @@ -0,0 +1,54 @@ +An event is any subset of the [[Sample space]]. + +Example: Given +$$S = \{1,2,3,4,5,6\}$$ + +then +$$A = \{2,4\}$$ +is an event. + +Can be visualized with [[Venn diagram]]s. + +Events happen with a [[Probability]]. + +## Special events + +Some special events are the empty event ($\phi$) and the [[Sample space]] itself ($S$). + +# Operations + +Just like there are normal operations (+, \*, ..) on numbers there exist +operations on events. They work much like events on normal [[Set]]s. + +## Intersection + +$$A \cap B$$ + +## Union + +$$A \cup B$$ + +## Complement + +$$A'$$ + +# Disjoint + +Two events are disjoint if they don't "overlap" in any way. + +# Independent + +Two events are independent if $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. + +Intuition: $A$ does not affect $B$ and vice versa. + +$(A, B)$ independent $\Leftrightarrow$ $(A', B)$ independent. + +For example, given a fair dice roll and + +$$A = \{2\}, \ B = \{2, 3\}, \ C = S$$ + +then $A$ and $B$ are dependent but $A$ and $C$ are independent (since the +outcome of $A$ doesn't affect the outcome of $C$ since $P(C) = 1$. + +In general, $A_1, ..., A_n$ are independent if... diff --git a/sannolikhet/Percentile.md b/sannolikhet/Percentile.md new file mode 100644 index 0000000..a1879e9 --- /dev/null +++ b/sannolikhet/Percentile.md @@ -0,0 +1,5 @@ +$c$ is called the $b$-th percentile if + +$$P(X \le c) = b \%$$ + +where $P(X \le x)$ denotes a [[Random variable#Continuous random variable#Probability density function]] diff --git a/sannolikhet/Probability calculation techniques.md b/sannolikhet/Probability calculation techniques.md new file mode 100644 index 0000000..0b0efdf --- /dev/null +++ b/sannolikhet/Probability calculation techniques.md @@ -0,0 +1,16 @@ +A proper definition would probably (hah) use the [[Kolmogorov axioms]]. + +Intuition: probability is "chance". However: something like 50% is not exact. If +something has the probability 50% we don't expect it to happen exactly 50 times +out of 100 tries. Rather, we expect + +$$\lim_{n \rightarrow \infty} \mathrm{N}(\mathrm{heads}) = 50\% \cdot \mathrm{N}(n \ \mathrm{throws})$$ + +# Some rules + +$$P(S) = 1$$ +$$P(\phi) = 0$$ +$$P(A') = 1 - P(A)$$ +$$P(A_1 \cup A_2 \cup ...) = P(A_1) + P(A_2) + ...$$ +$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ +$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(A \cap C) + P(A \cap B \cap C)$$ diff --git a/sannolikhet/Probability.md b/sannolikhet/Probability.md new file mode 100644 index 0000000..90969b0 --- /dev/null +++ b/sannolikhet/Probability.md @@ -0,0 +1,3 @@ +In a nutshell: "What is the *probability*" that x happens?" + +See [[TAMS42#Probability]].
\ No newline at end of file diff --git a/sannolikhet/Random variable.md b/sannolikhet/Random variable.md new file mode 100644 index 0000000..ba7e125 --- /dev/null +++ b/sannolikhet/Random variable.md @@ -0,0 +1,97 @@ +Definition: A random variable (or a distribution) is a numerical value +associated with an [[Experiment]] whose value can change from one replicate of +the experiment to another. + +A proper definition would need [[Probability space]] and [[Measurable function]]s. + +For example, given a fair dice roll, + +$$X = \{1,2,3,4,5,6\}$$ + +is a random variable. + +$$Y = [30, 260]$$ + +is another. + +Two types: Discrete random variables and continuous random variables. + +# [[Discrete]] random variable + +If the outcomes are either bounded in size or countably infinite. + +## Probability mass function + +Also known as the pmf. Every discrete random variable has a corresponding pmf. +Denoted + +$$p(x) = P(X = x)$$ + +## Table + +Every discrete random variable also has a corresponding table. + +|$X$|$x_1$|$x_2$|$...$|$x_n$| +|--|--|--|--|--| +|$p(x)$|$p(x_1)$|$p(x_2)$|$...$|$p(x_n)$| + +where + +$$p(x_i) \ge 0 \quad \forall i \in \{1,2,..,n\}$$ +$$\sum_{i=1}^n p(x_i) = 1$$ + +# [[Continuous]] random variable + +The rest. E.g. some interval on the number line. + +## Probability density function + +Also knows as the pdf. Every continuous random variable has a corresponding pdf. +Denoted $f(x)$ where + +$$\int_a^b f(x) dx = P(a \le X \le b)$$ + +and + +$$f(x) \le 0 \quad \forall x$$ +$$\int_{-\infty}^\infty f(x) dx = 1$$ + +# Cumulative distribution function + +Also knows as the cdf. + +$$F(x) = P(X \le x)$$ + +For discrete random variables: + +$$F(y) = \sum_{i=1}^y p(x_i)$$ + +And for continuous random variables: + +$$F(x) = \int_{-\infty}^x f(y) dy$$ + +Here we see that + +$$F'(x) = f(x)$$ + +for continuous random variables. Compare with [[Algebrans fundamentalsats]]? + +# Examples + +## Waiting time (useful model) + +Let $X$ be the waiting time between calls in a phone center. Assume $X$ is a +continuous random variable with pdf + +$$f(x) = 2e^{-2x} \quad x \gt 0$$ + +What is $P(X \gt 3)$? + +$$P(X \gt 3) = \int_3^\infty f(x) dx = \int_3^\infty 2e^{-2x}dx = e^{-6}$$ + +In actuality, + +$$f(x) = 2e^{-2x} \quad x>0$$ +$$0 \ \mathrm{otherwise}$$ + +but the 0-case is assumed. diff --git a/sannolikhet/Sample space.md b/sannolikhet/Sample space.md new file mode 100644 index 0000000..6e4130c --- /dev/null +++ b/sannolikhet/Sample space.md @@ -0,0 +1,10 @@ +The sample space is the [[Set]] of all possible outcomes of an [[Experiment]] or +a [[Trial]]. + +Example: Throw a dice and observe the upper side. +$$S = \{1,2,3,4,5,6\}$$ + +Example: Throw two fair dice and observe their upper sides. +$$S = \{(1,1),(1,2), ..., (1,6),(2,1), ...,(6,5),(6,6)\}$$ + +The sample space consists of [[Event]]s. |