\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage{amssymb, amsmath, amsthm}
\usepackage{siunitx}

\usepackage{subfig}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{pgfplotstable}
\usepackage{csvsimple}

\usepackage[swedish]{babel}
\usepackage{lipsum}
\usepackage{parskip}

%TODO
% beskrivande figur
% dubbelkolla decimaler
% siffror mätserie 3

\newcommand*{\dd}{\mathrm{d}}
%\newcommand*{\ln}{\mathrm{ln}}

\begin{document}

\begin{titlepage}
  \centering
  \vspace{10cm}
  {\Huge Torsionspendel \\}
  \vspace{2cm}
  {\Large TFYA81 - Experimentell problemlösning \\}
  \vspace{0.8em}
  {\Large Laborationsrapport}
  \vfill

  {
    \textsc{Philip Holm} - phiho621 \\
    \textsc{Gustav Sörnäs} - gusso230 \\
    \vspace{2cm}
    Teknisk fysik och elektroteknik (Y) \\
    Linköpings universitet, Linköping \today{} (Version 1)
  }

  % Bottom of the page
  %{\large \today\par}
\end{titlepage}

\pagenumbering{gobble}
\section*{Sammanfattning}

En modell för periodtiden för en torsionspendel togs
fram via experiment och beräkning. Följande blev modellen.

\begin{equation*}
  T = \frac{c_2 \sqrt{l(ma^2 + c_1)}}{d^2 \sqrt{G}}
\end{equation*}

$T$ är period tiden, $l$ och $d$ beskriver trådens längd respektive diameter. $m$ är de
på satta vikternas massa, $a$ är längden från pendelns centrum och de påsatta
vikternas centrum och $G$ är skjuvmodulen för trådens material. $c_1$ är en konstant
som uppmättes till $0.00089 \pm 8.5 \cdot 10^{-6} \ \text{kgm}^2$. $c_2$ är en dimensionslös
konstant som uppmättes till $29.7 \pm 0.06$.

\clearpage

\tableofcontents
\clearpage

\pagenumbering{arabic}

\section{Inledning}

Syftet med laborationen var att ta fram en fysikalisk modell för periodtiden
för en stång i en torsionspendel,  beroende på trådens längd, diameter, massan
samt hur långt ut på stången vikterna sattes.

\section{Metod}

%\subsection{Experimentets utförande}
En metalltråd fästes med hjälp av en tving-liknande klämma i ena änden och läts
i andra änden hänga fritt. I den fria änden fästes mitten av en stång med en
insex-nyckel. På stångens båda sidor skruvades vikter på med lika avstånd från
mittpunkten av stången. Vid vardera mätning roterades stången en bit och läts
sedan pendla fritt. Pendeltiden mättes för tio pendelutslag åt gången för att
minska osäkerheten.

\subsection{Ingående variabler}

\begin{table}[h!]
  \caption{Storheter}
  \label{tab:storheter}
  \begin{tabular} {| l | l | l | l |}
    \hline
    \textbf{Beskrivning} & \textbf{Variabel} & \textbf{Enhet} & \textbf{Dimension} \\\hline
    Trådens längd & $l$ & [m] & L \\\hline
    Trådens diameter & $d$ & [m] & L \\\hline
    Viktens massa & $m$ & [kg] & M \\\hline
    Viktens avstånd från mitten & $a$ & [m] & L \\\hline
    Trådens skjuvmodul & $G$ & [Pa] $=$ [kg $\mathrm{m}^{-1}$ $\mathrm{s}^{-2}$] & M $\mathrm{L}^{-1}$ $\mathrm{T}^{-2}$ \\\hline
    Pendeltiden & $T$ & [s] & T \\\hline
    Konstant med dimension & $c_1$ & [?] & ? \\\hline
    Konstant utan dimension & $c_2$ && \\\hline
  \end{tabular}
\end{table}

Trådens diameter mättes med en mikrometer. Övriga längder mättes med måttband.
Massan mättes med våg, skjuvmodulerna gavs i laborationsinstruktionen och
tiden mättes med stoppur.

\subsection{Hypotes}

I övrigt antogs sambandet vara multiplikativt.

\begin{equation}
  T = L^\alpha \cdot d^\beta \cdot (m^\gamma \cdot a^\sigma + c_1)^\omega \cdot G^\lambda \cdot c_2
\end{equation}

\subsection{Dimensionsanalys}

Givet ovanstående ansats ficks följande ekvationssystem gällande exponenterna.

\begin{equation}
  %\left\{
  \begin{array}{rrcc}
    \text{m:} & \hspace{1em} \alpha + \beta + \sigma \omega - \lambda & = & 0 \\
    \text{kg:} & \gamma \omega + \lambda & = & 0 \\
    \text{s:} & 2\lambda & = & 1
  \end{array}
  \label{eq:system}
\end{equation}

$\lambda = \frac{-1}{2}$ antogs som uppenbar. $\alpha$ och $\beta$ ficks sedan genom
linjäriseringar och $\gamma$, $\sigma$ och $\omega$ ficks genom en ansats.

%\clearpage

\section{Resultat}

\subsection{Linjärisering}

19 mätningar (mätserie~1) gjordes där $L$ var den enda variabeln som varierades
varpå följande linjärisering genomfördes.

\begin{align}
  \ln T &= \ln (L^\alpha \cdot d^\beta \cdot (m^\gamma \cdot a^\sigma + c_1)^\omega \cdot G^\lambda \cdot c_2) \nonumber \\
  \ln T &= \ln (L^\alpha) + \ln (d^\beta \cdot (m^\gamma \cdot a^\sigma + c_1)^\omega \cdot G^\lambda \cdot c_2) \nonumber \\
  \ln T &= \alpha \ln L + \ln (d^\beta \cdot (m^\gamma \cdot a^\sigma + c_1)^\omega \cdot G^\lambda \cdot c_2)  \label{eq:lin_La}
\end{align}

Dessutom gjordes 15 mätningar (mätserie~2) där $d$ var den enda variabeln som
varierades och följande linjärisering gjordes.

\begin{align}
  \ln T &= \ln (L^\alpha \cdot d^\beta \cdot (m^\gamma \cdot a^\sigma + c_1)^\omega \cdot G^\lambda \cdot c_2) \nonumber \\
  \ln T &= \ln (d^\beta) + \ln (L^\alpha \cdot (m^\gamma \cdot a^\sigma + c_1)^\omega \cdot G^\lambda \cdot c_2) \nonumber \\
  \ln T &= \beta\ln d + \ln (L^\alpha \cdot (m^\gamma \cdot a^\sigma + c_1)^\omega \cdot G^\lambda \cdot c_2)  \label{eq:lin_db}
\end{align}

Ekvationerna \eqref{eq:lin_La} och \eqref{eq:lin_db} ritades upp enligt
figur~\ref{fig:lin_La} och figur~\ref{fig:lin_db}.

\begin{figure}
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis} [
      ylabel=$\ln T$,
      xlabel=$\ln L$,
      xmin=-2.1, xmax=-0.9,
      ymin=-0.45, ymax=0.14,
      legend pos = outer north east,
      ]
      \addplot+ [mark=none] {0.4601*x + 0.5066};
      \addlegendentry {$0.46x + 0.51$};
      \addplot+ [only marks,mark=*,color=blue,mark options={fill=blue}] table [col sep=comma, x index=2, y index=3] {data/var_l.csv};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{Linjärisering med avseende på $L$}
  \label{fig:lin_La}
\end{figure}

\begin{figure}
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis} [
      ylabel=$\ln T$,
      xlabel=$\ln d$,
      xmin=-6.45, xmax=-5.95,
      ymin=1.85, ymax=2.65,
      legend pos = outer north east,
      ]
      \addplot+ [mark=none,domain=-7:-5] {-1.897*x - 9.4668};
      \addlegendentry {$-1.9x - 9.5$};
      \addplot+ [only marks,mark=*,color=blue,mark options={fill=blue}] table [col sep=comma, x index=2, y index=3] {data/var_d.csv};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{Linjärisering med avseende på $d$}
  \label{fig:lin_db}
\end{figure}

Eftersom lutningen i figur~\ref{fig:lin_La} beskrev exponenten $\alpha$ och
lutningen i figur~\ref{fig:lin_db} beskrev exponenten $\beta$ antogs $\alpha =
0.5$ och $\beta = -2$.

\subsection{Ansättning}

På grund av additionen under exponenten $\omega$ kunde varken $\gamma$, $\sigma$ eller $\omega$
beräknas genom linjärisering. Istället gjordes en omskrivning med hjälp av
ekvationssystemet \eqref{eq:system} och ett värde på $\gamma$ ansattes.

\begin{align}
  T &= L^\alpha \cdot d^\beta \cdot (m^\gamma \cdot a^\sigma + c_1)^\omega \cdot G^\lambda  \cdot c_2\nonumber \\
  T &= D (m^\gamma \cdot a^\sigma + c_1)^\omega \nonumber \\
  T &= D (m^\gamma \cdot a^{2\gamma} + c_1)^{1/2\gamma} \label{eq:use_system} \\
  T^{2\gamma} &= D^{2\gamma} (m^\gamma \cdot a^{2\gamma} + c_1) \nonumber \\
  T^{2\gamma} &= (D^2m)^\gamma a^{2\gamma} + D^{2\gamma}c_1 \label{eq:lin_c}
\end{align}

I ekvation~\eqref{eq:use_system} användes ekvationsystemet så alla exponenter
beskrevs utifrån $c$.

I ekvation~\eqref{eq:lin_c} ansattes sedan $\gamma = 1$. 35 mätningar (mätserie~3)
utfördes där $a$ var den enda variabeln som varierade och figur~\ref{fig:lin_c}
ritades ut för att kontrollera hypotesen.

\begin{figure}[h!]
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis} [
      legend style={cells={align=left}},
      xticklabel style={
        /pgf/number format/fixed,
        /pgf/number format/precision=3
      },
      scaled x ticks=false,
      ylabel=$T^2$,
      xlabel=$a^2$,
      xmin=-0.005, xmax=0.063,
      ymin=-0.1, ymax=1.8,
      legend pos = outer north east,
      ]
      \addplot+ [mark=none, domain=-0.01:0.1] {22.9564*x + 0.3024};
      \addlegendentry{$23.0x + 0.3$ \\ ($r^2 = 0.9994$)};
      \addplot+ [only marks,mark=*,color=blue,mark options={fill=blue}] table [col sep=comma, x index=2, y index=3] {data/var_r.csv};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{Ansättningen $c = 1$}
  \label{fig:lin_c}
\end{figure}

På grund av den höga linjäriteten (framförallt för $a$ nära 0) antogs $\gamma = 1$
vara en korrekt ansättning. Ekvationssystemet löstes sedan fullständigt.

\begin{align}
  \gamma\omega - \frac{1}{2} = 0 \quad &\Leftrightarrow \quad \gamma\omega = \frac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad \omega = \frac{1}{2\gamma} = \frac{1}{2} & \\[0.5em]
  \frac{1}{2} - 2 + \sigma\omega - \frac{1}{2} = 0 \quad &\Leftrightarrow \quad \sigma\omega = 2 \quad \Leftrightarrow \quad \sigma = 2\gamma = 2 &
\end{align}

\subsection{Bestämning av konstanter}

Konstanterna $c_1$ och $c_2$ bestämdes genom följande linjärisering.
Mätserie~3 återanvändes och figur~\ref{fig:lin_c1_c2} ritades ut.

\begin{align}
  T &= L^{1/2} \cdot d^{-2} \cdot (m a^2 + c_1)^{1/2} \cdot G^{-1/2} \cdot c_2 \nonumber \\
  T^2 &= L \cdot d^{-4} \cdot (m a^2 + c_1) \cdot G^{-1} \cdot c_2^2 \nonumber \\
  \underbrace{\frac{T^2 d^4 G}{L}}_y &= \underbrace{c_2^2 \vphantom{\frac{T^2 d^4 G}{L}}}_k \underbrace{m a^2 \vphantom{\frac{T^2 d^4 G}{L}}}_x + \underbrace{c_1c_2^2 \vphantom{\frac{T^2 d^4 G}{L}}}_m
\end{align}

\begin{figure}[h!]
  \begin{tikzpicture}
    \begin{axis} [
      xticklabel style={
        /pgf/number format/fixed,
        /pgf/number format/precision=3
      },
      scaled x ticks=false,
      ylabel=$y$,
      xlabel=$x$,
      xmin=-0.0005, xmax=0.0045,
      ymin=-0.5, ymax=4.9,
      legend pos = outer north east,
      ]
      \addplot+ [mark=none,domain=-0.0005:0.005] {880.998*x + 0.787};
      \addlegendentry{$881 (\pm 4) \cdot x + 0.787 (\pm 0.007)$};
      \addplot+ [only marks,mark=*,color=blue,mark options={fill=blue}] table [col sep=comma, x index=0, y index=1] {data/c1_c2.csv};
    \end{axis}
  \end{tikzpicture}
  \caption{Linjärisering för att bestämma $c_1$ och $c_2$}
  \label{fig:lin_c1_c2}
\end{figure}

\begin{align}
  k = c_2^2 \quad &\Leftarrow \quad c_2 = \sqrt{k} \approx 29.7\\
  m = c_1c_2^2 \quad &\Leftarrow \quad c_1 = \frac{m}{k} \approx 0.00089
\end{align}

\subsection{Felanalys}

Följande fel uppskattades i avläsningen av de olika storheterna.

\begin{tabular}{|l|l|}
  \hline
  \textbf{Storhet} & \textbf{Mätfel} \\\hline
  Trådens längd ($L$) & $\pm 0.5 \text{mm}$ \\\hline
  Trådens diameter ($d$) & $\pm 0.01 \text{mm}$ \\\hline
  Viktens massa ($m$) & $\pm 0.05 \text{g}$ \\\hline
  Viktens avstånd från mitten ($a$) & $\pm 0.5 \text{mm}$ \\\hline
  Pendeltiden ($T$) & $\pm 0.05 \text{s}$ \\\hline
\end{tabular}

Osäkerheten i $c_1$ och $c_2$ bedömdes med felfortplantningsformeln.

Följande ekvationer ställdes upp.

\begin{align}
  c_2(k) &= \sqrt{k} \\
  c_1(k, m) &= \frac{m}{k}
\end{align} 

Utifrån dessa ställdes följande feluppskattningar upp.

\begin{align}
  s(c_2) &= \frac{\dd c_2}{\dd k} \, s(k) = \frac{1}{2\sqrt{k}} \, s(k) \approx ...\\
  s(c_1) &= \sqrt{\left( \frac{\partial c_1}{\partial k} \, s(k) \right)^2 + \left( \frac{\partial c_1}{\partial m} \, s(m) \right)^2} \nonumber \\
         &= \sqrt{\left( \frac{-m}{k^2} \, s(k) \right)^2 + \left( \frac{1}{k} \, s(m) \right)^2} \approx ...
\end{align}

\clearpage

\section{Slutsats och diskussion}

\subsection*{Slutsats}

Experimentet tillsammans med dimensionsanalys och linjärisering visar att det
går att ta fram en modell och formel för periodtiden för en torsionspendel.
Analysen visar att trådens längd, diameter, skjuvmodul och var vikten placeras
på stången samt massan av den påverkar pendeltiden. 

\subsection*{Diskussion}

Modellen tar inte hänsyn till varken pendelns vinkelutslag eller huruvida
pendelrörelsen är dämpad eller inte. Framtida experiment kan göras för att
undersöka huruvuda de påverkar modellen eller inte.

Vidare borde en separat modellprövning ha utförts. Modellen testades aldrig mot
nya mätvärden vilket kan betyda att modellen är anpassad efter våra mätningar
och inte speglar verkligheten. Fler mätningar med olika variabler som varieras
skulle öka modellens trovärdighet.

\clearpage
\appendix
\section{Mätserier}

\subsection*{Mätserie 1}

\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
  \hline
  \textbf{L [m]} & \textbf{T [s]} & \textbf{lnL} & \textbf{lnT}
  \csvreader[head to column names,
  before reading=\sisetup{}]{data/var_l.csv}{}
  {\\\hline \l & \t & \lnl & \lnt}
  \\\hline
\end{tabular}

\subsection*{Mätserie 2}

\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
  \hline
  \textbf{d [m]} & \textbf{T [s]} & \textbf{lnd} & \textbf{lnT}
  \csvreader[head to column names,
  before reading=\sisetup{}]{data/var_d.csv}{}
  {\\\hline \d & \t & \lnd & \lnt}
  \\\hline
\end{tabular}

\subsection*{Mätserie 3}

\begin{tabular}{|l|l|l|l|}
  \hline
  \textbf{a [m]} & \textbf{T [s]} & $\textbf{a}^2$ & $\textbf{T}^2$
  \csvreader[head to column names,
  before reading=\sisetup{}]{data/var_r.csv}{}
  {\\\hline \r & \t & \rrr & \ttt}
  \\\hline
\end{tabular}

\end{document}
